还在被GMAT余数题困扰的同学，现在请准备好一支笔及一张草稿纸，跟着我的步骤做下来。保证以后你再碰到余数题，都能轻松将其秒掉。

　　我在自己的讨论稿文档里，求余的时候，都会用到 mod 这个运算符。

　　mod：模。意思就是求余数。

　　比如说：5 mod 3=2， 100 mod 11=1

　　读作：五模三余二，一百模十一余一

　　这是标准的公式化写法，大家可能不太熟悉，但是知道意思了，其实也很简单。引入Mod，主要是可以用数学公式来写，而且可以把求余数的问题化简成为普通的四则运算的问题，也比较容易表达。

　　在讲如何求余之前，先来普及一下余数的一些性质。

　　首先就是余数的加减法：比如说100除以7余2，36除以7余1。那么100+36除以7余几呢?或者100-36除以7余几呢?很显然，只要用100除以7的余数2与36除以7的余数1进行加减就可以得到答案。通过这个例子可以很明显的看出来，余数之间是可以加减的。

　　总结写成书面的公式的话，就是：(M+N) mod q=((M mod q)+(N mod q)) mod q

　　然后我们再看余数的乘法：我们继续来看上面这个例子，如果要求100*36除以7的余数是多少，该怎么求呢?

　　我们不妨来这样做：

　　100=98+2=7*14+2，36=35+1=7*5+1;

　　这时100*36=(7*14+2)(7*5+1)=7*14*7*5 + 2*7*5 + 7*14*1 + 2*1

　　很明显，100*36除以7的余数就等于2*1=2

　　于是我们可以得出这样的一个结论：求M*N除以q的余数，就等于M除以q的余数 乘以 N除以q的余数。

　　类似的，如果是求N^m 除以q的余数呢?只要我们将N^m=N*N*N*...*N，也就是说分别地用每个N除以q的余数相乘，一共m个，得出的结果再对q求余数，即可求出结果。

　　举例来说：求11^4除以9的余数。化成公式即是：11^4 mod 9=?

　　11^4 mod 9 = (9+2)^4 mod 9 = 2^4 mod 9 =16 mod 9 = 7

　　于是我们可以总结出这样的公式：

　　M*N mod q=(M mod q)*(N mod q) mod q

　　( M^n mod q = (M mod q)^n mod q )

　　那么，我们知道了这些性质之后对解题又有什么帮助呢?

　　As we all know，如果一个数乘以1，还是等于原数;而1的任意次方，还是等于1。

　　所以在解答这一类的问题的时候，只要我们尽量把计算中的余数凑成与1相关的乘式，结果显然会好算很多的。(或者-1，2之类的比较容易进行计算的数字都可以，因题而异。)

　　举例说明：求3^11除以8的余数。题目即是：3^11 mod 8=?

　　3^11 mod 8

　　=3^10 * 3^1　　　(mod 8)

　　=(3^2)^5*(3^1) (mod 8)

　　=9^5 * 3　　　 　(mod 8)

　　=(8+1)^5 *3　　　(mod 8)

　　=1^5 *3　　　　 (mod 8)

　　=3

　　发现没有，甚至没有去计算什么尾数的规律，答案就算出来了，而且只用了加减乘除。

　　那么再来看一道题目：求 (2^100)*(3^200) 除以7的余数

　　先化成计算公式：

　　(2^100)*(3^200)　　　　　　　　　mod 7

　　=[2^(3*33 + 1)] * [3^(3*66 + 2)]　　 mod 7

　　=[(2^3)^33 * 2] * [(3^3)^66 * 3^2]　mod 7

　　=(8^33 * 2) * (27^66 * 9)　　　　　　mod 7

　　=[(7+1)^33 * 2] * [(28-1)^66 * 9]　　mod 7

　　=(1^33 * 2)* [(-1)^66 * 9]　　　　　　mod 7

　　=2*9　　　　　　　　　　　　　　　　mod 7

　　=4

　　注意：如果余数有负号，就当做负数一样计算。

　　我步骤写得很详细，但其实只要是熟练了，基本上只要三四步答案一定就出来了，有没有觉得很简单呢?赶紧找一两题来练练手吧，甚至随便写几个数字来做做试试看，像我上面的例题都是临时编的。

　　相信只要练习了三四道题目，以后再碰到这样的余数题，就会会心地一笑：小样，秒掉你!

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